Занятие 4 из 10
Теорема Виета
Теория
Для приведённого квадратного уравнения x² + px + q = 0 сумма корней равна −p, а произведение равно q: x₁ + x₂ = −p, x₁ · x₂ = q.
Теорема Виета позволяет проверять решения и находить корни подбором. Например, для x² − 7x + 12 = 0: ищем два числа с суммой 7 и произведением 12 — это 3 и 4.
Обратная теорема: если числа m и n дают сумму −p и произведение q, то они являются корнями уравнения x² + px + q = 0.
Примеры с решением
Пример
Найдите корни: x² − 5x + 6 = 0 по Виета.
Сумма 5, произведение 6: числа 2 и 3. Корни: x₁ = 2, x₂ = 3.
Пример
Для x² + 8x + 15 = 0 найдите сумму корней.
Сумма = −8, произведение = 15. Корни: −3 и −5.
Задания для самопроверки
Сначала ответьте сами, затем сверьтесь с ответом.
Задание
Найдите корни подбором: x² − 3x − 10 = 0.
Сумма 3, произведение −10: корни 5 и −2.
Задание
Чему равно произведение корней x² + 2x − 8 = 0?
−8.
Задание
Составьте уравнение с корнями 2 и 3.
x² − 5x + 6 = 0.
Проверь себя
Уровень «Базовый». Решите несколько заданий из пула — нажмите «Новые задания», чтобы получить другой набор.
1
Корни уравнения x² + px + q = 0 равны -2 и 5. Найдите произведение корней.
2
Корни уравнения x² + px + q = 0 равны -9 и 1. Найдите сумму корней.
3
Корни уравнения x² + px + q = 0 равны -1 и -2. Найдите сумму корней.
4
Корни уравнения x² + px + q = 0 равны -9 и 8. Найдите сумму корней.
5
Корни уравнения x² + px + q = 0 равны 2 и 6. Найдите произведение корней.
6
Корни уравнения x² + px + q = 0 равны 1 и -5. Найдите произведение корней.
7
Корни уравнения x² + px + q = 0 равны -9 и 8. Найдите сумму корней.
8
Корни уравнения x² + px + q = 0 равны -6 и -8. Найдите произведение корней.
Совет
Теорема Виета работает только для приведённых уравнений (коэффициент при x² равен 1).