Занятие 4 из 10
Теорема Виета
Теория
Для приведённого квадратного уравнения x² + px + q = 0 сумма корней равна −p, а произведение равно q: x₁ + x₂ = −p, x₁ · x₂ = q.
Теорема Виета позволяет проверять решения и находить корни подбором. Например, для x² − 7x + 12 = 0: ищем два числа с суммой 7 и произведением 12 — это 3 и 4.
Обратная теорема: если числа m и n дают сумму −p и произведение q, то они являются корнями уравнения x² + px + q = 0.
Примеры с решением
Пример
Найдите корни: x² − 5x + 6 = 0 по Виета.
Сумма 5, произведение 6: числа 2 и 3. Корни: x₁ = 2, x₂ = 3.
Пример
Для x² + 8x + 15 = 0 найдите сумму корней.
Сумма = −8, произведение = 15. Корни: −3 и −5.
Задания для самопроверки
Сначала ответьте сами, затем сверьтесь с ответом.
Задание
Найдите корни подбором: x² − 3x − 10 = 0.
Сумма 3, произведение −10: корни 5 и −2.
Задание
Чему равно произведение корней x² + 2x − 8 = 0?
−8.
Задание
Составьте уравнение с корнями 2 и 3.
x² − 5x + 6 = 0.
Проверь себя
Уровень «Средний». Решите несколько заданий из пула — нажмите «Новые задания», чтобы получить другой набор.
1
Составьте квадратное уравнение корни которого равны 3 и 8 (запишите левую часть в виде x^2+px+q; без пробелов)
2
Чему равно произведение корней уравнения x² - 5x + 4 = 0?
3
Чему равна сумма корней уравнения x² - 14x + 49 = 0?
4
Чему равна сумма корней уравнения x² - 10x + 16 = 0?
5
Составьте квадратное уравнение корни которого равны -6 и -2 (запишите левую часть в виде x^2+px+q; без пробелов)
6
Составьте квадратное уравнение корни которого равны 4 и 2 (запишите левую часть в виде x^2+px+q; без пробелов)
7
Оба корня уравнения x² - 14x + 48 = 0
8
Оба корня уравнения x² - 11x + 30 = 0
Совет
Теорема Виета работает только для приведённых уравнений (коэффициент при x² равен 1).