Занятие 4 из 10
Теорема Виета
Теория
Для приведённого квадратного уравнения x² + px + q = 0 сумма корней равна −p, а произведение равно q: x₁ + x₂ = −p, x₁ · x₂ = q.
Теорема Виета позволяет проверять решения и находить корни подбором. Например, для x² − 7x + 12 = 0: ищем два числа с суммой 7 и произведением 12 — это 3 и 4.
Обратная теорема: если числа m и n дают сумму −p и произведение q, то они являются корнями уравнения x² + px + q = 0.
Примеры с решением
Пример
Найдите корни: x² − 5x + 6 = 0 по Виета.
Сумма 5, произведение 6: числа 2 и 3. Корни: x₁ = 2, x₂ = 3.
Пример
Для x² + 8x + 15 = 0 найдите сумму корней.
Сумма = −8, произведение = 15. Корни: −3 и −5.
Задания для самопроверки
Сначала ответьте сами, затем сверьтесь с ответом.
Задание
Найдите корни подбором: x² − 3x − 10 = 0.
Сумма 3, произведение −10: корни 5 и −2.
Задание
Чему равно произведение корней x² + 2x − 8 = 0?
−8.
Задание
Составьте уравнение с корнями 2 и 3.
x² − 5x + 6 = 0.
Проверь себя
Уровень «Сложный». Решите несколько заданий из пула — нажмите «Новые задания», чтобы получить другой набор.
1
Сумма корней уравнения x² - 11x + 24 = 0 равна 11 а их разность равна 5. Найдите корни уравнения (через точку с запятой в любом порядке)
2
Одно число на 1 больше другого а их произведение равно 6. Найдите эти числа (через точку с запятой в любом порядке)
3
Один из корней уравнения x² + 4x + 4 = 0 равен -2. Найдите второй корень
4
Один из корней уравнения x² + 11x + 30 = 0 равен -6. Найдите второй корень
5
Корни уравнения x² - 13x + 42 = 0 отличаются на 1. Найдите меньший корень
6
Сумма корней уравнения x² - 10x + 25 = 0 равна 10 а их разность равна 0. Найдите корни уравнения (через точку с запятой в любом порядке)
7
Найдите разность корней уравнения x² - 9x + 20 = 0
8
Найдите разность корней уравнения x² - 8x + 12 = 0
Совет
Теорема Виета работает только для приведённых уравнений (коэффициент при x² равен 1).